    Die Brems-Frage

Auch diese Frage gehört zu den Fragen der Motorradgeschichte, über die sich die Motorradgemeinschaft die Köpfe einschlägt:

hinten Bremsen oder vorne Bremsen, und bei welcher Technik ergibt sich der kürzeste Bremsweg.

Nachfolgend soll diese Frage wieder physikalisch analysiert werden. Dabei kann mit einigen vorgefassten Meinungen ("die hintere Bremse ist unnütz") aufgeräumt werden.

  M := Massenschwerpunkt des Motorrades + Fahrer
  h := Höhe des Massenschwerpunkts über dem Boden
  l := x_o := Radstand
  x_f := Abstand vorderer Radaufstandpunkt - Massenschwerpunkt (normale)
  x_r := Abstand hinterer Radaufstandpunkt - Massenschwerpunkt (normale)

  F_{G_M} := Gesamtgewicht des Motorrades
  F_{G_o}^f := Ruhe-Gewichtskraft am Vorderrad, Motorrad im Stand (= (1 - x_f/x_o) F_{G_M})
  F_{G_o}^r := Ruhe-Gewichtskraft am Hinterrad, Motorrad im Stand (= (1 - x_r/x_o) F_{G_M})
  F_L := Hebe-Kraft ("lift") am Hinterrad durch Bremsung (Stoppie-Effekt)
  F_{G_e}^f := effektive Gewichtskraft am Vorderrad während Bremsung (= F_{G_o}^f + F_L)
  F_{G_e}^r := effektive Gewichtskraft am Hinterrad während Bremsung (= F_{G_o}^f - F_L)

  a := Beschleunigung
  g := Graviationskonstante (= Erdbeschleunigung)
  μ := Reibbeiwert  (Bsp trockenerAsphalt: μ = 1)
  η_f := Bremswirkungsgrad (= wie stark die vordere Bremse zieht) Vorderrad, Werte = [0,1]
  η_r := Bremswirkungsgrad (= wie stark die hintere Bremse zieht) Hinterradrad, Werte = [0,1]

Kap I: Bremsung NUR HINTEN

Negative Beschleunigungskraft F_a im Massenzentrum = Reibkraft am Hinterrad (I.a) F_a = m a = μ η_r F_{G_e}^r
Effektive Gewichtskraft am Hinterrad: (I.b) F_{G_e}^r = F_{G_o}^r - F_L
Drehmomentgesetz (Hebelgesetz) : Beschleunigungskraft und Lift-Kraft (I.c) F_a h = F_L x_o
Gewichtsverteilung in Ruhe zwischen Vorder- und Hinterrad: (I.d) F_{G_o}^r = F_{G_M} (l-x_r)/x_o
aus (I.a) + (I.c) folgt: F_L = F_{G_e}^r μ η_r (h/x_o)
mit (I.b): F_{G_e}^r = F_{G_o}^r - F_{G_e}^r μ η_r (h/x_o) 1 1 - (x_r/x_o) F_{G_e}^r = F_{G_o}^r ———————————————— = F_{G_M} ———————————————— 1 + μ η_r (h/x_o) 1 + μ η_r (h/x_o)

Beispiele:

Bsp.1: maximal erreichbare Bremsleistung (d.h. η=1) hinten bei μ = 1 (Trocken):

    x_f = x_o/2 ; h = x_o/2 ; η = 1 ; μ = 1,0    →  F_{G_e}^r(max) = 1/3 F_{G_M}    → F_a = 1/3 F_{G_M}     → a = 0,33g

Bsp.2: maximal erreichbare Bremsleistung (d.h. η=1) hinten bei μ = 0,5 (Regen) :

    x_f = x_o/2 ; h = x_o/2 ; η = 1 ; μ = 0,5    →  F_{G_e}^r(max) = 2/5 F_{G_M}    → F_a = 1/5 F_{G_M}     → a = 0,20g

Kap II: Bremsung NUR VORNE

Negative Beschleunigungskraft F_a im Massenzentrum = Reibkraft am Vorderrad (II.a) F_a = m a = μ η_r F_{G_e}^f
Effektive Gewichtskraft am Vorderrad: (II.b) F_{G_e}^f = F_{G_o}^f + F_L
Drehmomentgesetz (Hebelgesetz) : Beschleunigungskraft und Lift-Kraft (II.c) F_a h = F_L x_o
Gewichtsverteilung in Ruhe zwischen Vorder- und Hinterrad: (II.d) F_{G_o}^f = F_{G_M} (l - x_f)/x_o
aus (II.a) + (II.c) folgt: F_L = F_{G_e}^f μ η_f (h/x_o)
mit (II.b): F_{G_e}^f = F_{G_o}^f + F_{G_e}^f μ η_f (h/x_o) 1 1 - (x_f/x_o) F_{G_e}^f = F_{G_o}^f ———————————————— = F_{G_M} ———————————————— 1 - μ η_f (h/x_o) 1 - μ η_f (h/x_o)
Beispiele:

Bsp.1: maximal erreichbare Bremsleistung (d.h. η=1) vorne bei für μ = 1 optimal ausbalanciertem Supersportler:

    x_f = x_o/2 ; h = x_o/2 ; η = 1 ; μ = 1,0    →  F_{G_e}^r(max) = F_{G_M}    → F_a =  F_{G_M}    → a = 1g  (Hinterrad in der Luft !!!)

Bsp.2: maximal erreichbare Bremsleistung (d.h. η=1) vorne bei μ = 0,5 (Regen) :

    x_f = x_o/2 ; h = x_o/2 ; η = 1 ; μ = 0,5     →  F_{G_e}^r(max) = 2/3 F_{G_M}    → F_a =  1/3 F_{G_M}    → a = 0,33g

Bsp.3: maximal erreichbare Bremsleistung (d.h. η=1) vorne bei μ = 1 bei Lowrider:
```
    x_f = 3/4 x_o ; h = x_o/4 ; η = 1 ; μ = 1,0    →  F_{G_e}^r(max) = 1/3 F_{G_M}    → F_a =  1/3 F_{G_M}    → a = 0.33g 
  
```
D.h. der Low Rider bringt bei reiner Vorderradbremsung nur 33% der maximal erreichbaren Bremsleistung auf die Strße

Kap III: Bremsung VORNE UND HINTEN

Negative Beschleunigungskraft F_a im Massenzentrum = Reibkraft gesamt an Vorder- und Hinterrad (III.a) F_a = m a = μ η F_{G_M} = μ η m g → a = μ η g
Gesamtgewichtskraft: (III.b) F_{G_M} = F_{G_e}^f + F_{G_e}^r

Anteil Bremskraft vorne:

F_{G_e}^f = F_{G_e}^f + F_{G_M} μ η (h/x_o) = F_{G_M} ( x_r/x_o + μ η (h/x_o)

Anteil Bremskraft hinten:

F_{G_e}^r = F_{G_e}^r - F_{G_M} μ η (h/x_o) = F_{G_M} ( x_f/x_o - μ η (h/x_o)
Beispiele:

Bsp.1: maximal erreichbare Bremsleistung bei x_f = x_o/2 ; h = x_o/2 ; η = 1 ; μ = 1 (Trocken):
```
    F_{G_e}^f(max) = F_{G_M} 
    F_{G_e}^r(max) = 0         (Hinterrad in der Luft !!!)
  
```
Bsp.2: maximal erreichbare Bremsleistung bei x_f = x_o/2 ; h = x_o/2 ; η = 1 ; μ = 0,5 (Regen):
```
    F_{G_e}^f(max) = 3/4 F_{G_M} 
    F_{G_e}^r(max) = 1/4 F_{G_M}
  
```
D.h. bei optimaler Bremsung "vorne + hinten" bei μ = 0,5 verteilt sich die Bremsleistung zwischen vorne und hinten auf 3/4 : 1/4

Kap IV: Die Obergrenzen der Verzögerung

Obergrenze "Reifenhaftung"
Bei gegebenen Gripverhätnissen ("μ") stellt die maximal mögliche Reifenhaftung eine Obergrenze für die Bremsverzögerung dar. Mehr Verzögerung kann NICHT ERZIELT WERDEN, da danach der Haftungsabriß der Reifen folgt.
Nach Formel (III b) gilt für die maximale Reifenhaftungs-Verzögerung:
```
    a_μ = μ g
  
```
Obergrenze "Stoppie"
Unter gewissen Vorausetzungen (Verhältnis von Reibbeiwert und Massenschwerpunktslage) wird ab einer bestimmten Verzögerung das gesamte Gewicht der Maschine auf das Vorderrad ("Stoppie") verlagert. Mehr Verzögerung kann NICHT ERZIEHLT WERDEN, da sich das Motorrad sonst überschlägt.
Im Moment des beginnenden Stoppies gilt für die effektiven Gewichtskräfte an Vorder- und Hinterrad:
```
    F_{G_e}^r = 0 <=> F_{G_e}^f = F_{G_M}
  
```
Aus Kap II ergibt sich daraus die Relation für die Stoppie-Grenze: x_f η_f μ = ————— h
Mit Formel (III b) folgt für die Stoppie-Verzögerung: x_f a_σ = ————— g h
die maximale Verzögerung
Die maximal erreichbare Verzögerung des Motorrades ist nun das Infimum (d.h. der kleinste Wert) aus a_μ und a_σ: a_max = inf(a_μ, a_σ)
Hierbei gilt: (x_f/h) < μ → Stoppiegrenze wird vor Haftungsverlust erreicht (x_f/h) = μ → Stoppiegrenze und Haftungsgrenze werden gleichzeitig erreicht (x_f/h) > μ → Haftungsverlust wird vor Stoppiegrenze erreicht
D.h. ein Supersportler mit viel Gewicht auf der Front (x_f klein) und hohem Schwerpunkt (h groß) hat bei gutem Gripp (μ > 1) eine geringere Bremsverzögerung als ein Lowrider (auf den gleichen grippigen Reifen und Öhlins Federbeinen), da er sich noch vor Erreichen der Reifenhaftung aufs Vorderrad stellt und ggf. überschlagen würde. Der Lowrider hingegen kann die Bremsverzögerung voll bis zum Ende der Reifenhaftung ausnützen.

Bsp.1: Bei Gewichtsverteilung = 50:50, h = 0,4x_o ; μ = 1,5 (Slicks) können nur 83% der maximal möglichen Bremsleistung ausgenützt werden, bevor das Hinterrad steigt. Die erreichte maximale Verzögerung von 1,25g liegt unter a_μ (= 1,5g):
```
    x_f/h = 5/6 ; μ = 1,5     →  η = 0,83    → a = 1,25g
  
```
Bsp.2: Optimale Geometrie ("Lowrider mit Slicks") und μ = 1,5 bei Bremsung über beide Räder:
```
    x_f/h > 3/2 ; μ = 1,5     →  η = 1,0     → a = 1,50g 
  
```

Kap V: Dynamische Betrachtung des Bremsvorgangs

Die obigen Rechnungen gelten für einen gleichförmigen (statischen) Zustand. Insbesondere am Anfang des Bremsens verändert sich dieser allerdings dynamisch. Das liegt daran, daß Gabel/Federbein, Räder, Reifen etc. nicht starr sind und mit einer gewissen "Trägheit" reagieren. Wärend des Eintauchens der Gabel resp. Austauchens des hinteren Federbeines erfolgt hier ein Gewichststransfer von hinten nach vorne in endlicher Zeit.

Energetische Betrachtung

In der Ein/Austauchphase wird die "Bremsenergie" nicht nur in Bremsbeschleunigung umgesetzt, sondern zunächst in eine Drehbeschleunigung (Drehmoment) des Motorrades um seinen Massenschwerpunkt (mehr oder weniger...). Das Abbremsen dieser Drehbeschleunigung durch die Dämpfer/Reifen verbraucht nun wiederum Reibungsengerie innerhalb der Dämpfer und Reifen.

D.h. aus energetischer Sicht, kann, bis das Motorrad eine "stabile Neigung" eingenommen hat, nicht die ganze Bremsleistung in Bremsbeschleunigung umgesetzt werden.

Dynamische Radlastverteilung

Bedingt durch die Massenträgheit der Räder, Gabeln/Schwinge, Reifendeformation etc erfolgt der Transfer des Motorradgewichtes auf die vordere Reifenaufstandsfläche nicht instantan sondern in einer Zeitspanne τ. D.h. Zu Beginn einer Vorderradbremsung liegt zunächst nur das statische Motorradgewicht von ca F_{G_M}/2 auf dem Vorderrad, dementsprechend kann auch nur die halbe Bremsleistung übertragen werden. Dies ist mit ein Grund dafür, daß "plötzliches Anreissen" der Vorderradbemse zum Überbremsen des Reifens führt (ein weiterer Grund ist die Trägheit des Reifenkautschuks, der eine endliche Zeit benötigt, um die sich vergrößernde Aufstandsellipse optimal der Straße anzupassen)

Kap VI: Zusammenfassung

Bei der Bremsung, egal ob vorne, hinten oder mit beidem, wird Gewicht von hinten nach vorne verlagert. Die optimale Verteilung der Bremsleistung zwischen vorne und hinten hängt im wesentlichen von 2 Faktoren ab: dem akuten Reibbeiwert μ und der Lage des Massenschwerpunkts.
Die theoretisch für Motorräder mögliche maximale Reifenhaftungs-Bremsverzögerung ist a_μ = μ g.
D.h. kein noch so optimal gebautes Motorrad kann diese Bremsverzögerung überschreiten.

Ein weiterer, erheblicher Bremseffekt tritt allerdings durch den Luftwiderstand auf.
Die maximale Verzögerung des Motorrades ist bei gegebenem Grip und Motorradgeometrie beschränkt durch das Erreichen der Stoppiegrenze oder Reifenhaftungsgrenze
- Wird die Stoppiegrenze vor der Reifenhaftungsgrenze erreicht, so ist die maximale Verzögerung nur durch den exklusiven Einsatz der Vorderradbremse erreichbar
- Wird die Reifenhaftungsgrenze vor der Stoppiegrenze erreicht, so ist die maximale Verzögerung nur durch den kombinierten Einsatz von Vorder- und Hinterradbremse erreichbar.
Die Geometrie von Sportmaschinen in Verbindung mit hohem Grip moderner Reifen bedeuten in der Praxis, daß bei normaltrockener Straße die Stoppiegrenze problemlos vor dem Ende der Reifenhaftung erreicht wird.
- Hat bei der Bremsung der Hinterradreifen noch Kontakt zur Fahrbahn, heißt das, daß das Motorrad nicht maximal abgebremst wird.
- Andererseits dürfte die Anzahl derjenigen, die bei 200 km/h das Motorrad auf das Vorderrad stellen, überschaubar sein, und so lange nennenswertes Gewicht auf dem Hinterrad liegt, kann es zur Bremsung mitverwendet werden.
Wird aus dem Erreichen der Stoppiegrenze ein richtiger Stoppie (Hinterrad schweb hoch in der Luft), so fällt die erreichbare Verzögerung stark ab, da der Massenschwerpunkt (Parameter "h") weit nach oben kommt und der effektive Radstand l sich verringert. Optimal ist also ein soeben über dem Boden zu schweben beginnendes Hinterrad.
bei geringen Reibbeiwerten (Regen, Bitumen, kalte Reifen etc) wird die Stoppiegrenze auch bei Sportmaschinen nicht erreicht, die Reifenhaftung des Vorderrads ist hier vorher zu Ende, so daß zum Erreichen der optimalen Verzögerung hinten mitgebremst werden muß.
Bei Bremsungen aus hohen Geschwindigkeiten und insbesondere unperformanten Bremsanlagen (Bremsbeläge, Trommelbremsen) liegt der Wirkungsgrad der Vorderradbremsen deutlich unter 100%, somit wird die Stoppiegrenze selbst bei Sportmaschinen nicht erreicht. Hier muß zum Erreichen der optimalen Verzögerung hinten mitgebremst werden.
bei beladenen Tourenmaschinen und inbesondere Choppern wird auch bei einem guten Reibbeiwert (μ > 1) die Stoppiegrenze auf Grund der Lage des Schwerpunkts nicht erreicht. Man stelle sich vor, einen AMG-Chopper mit 2 Meter langer Springergabel, knapp über dem Boden schleifendem Motor und Sitzposition zwischen Zylindern und Hinterradachse aufs Vorderrad stellen zu wollen.... Das gleiche gilt im Zweipersonenbetreib mit weit hinten sitzender Sozia. Bei diesen Maschinen muß also IMMER hinten mitgebremst werden.
Sozias auf Sportmaschinen können den Schwerpunkt mehr nach oben als nach hinten verlagern (überhöhtes Sitzbrötchen in Verbindung mit nach vorne gelehntem Körper), so daß hier die Stoppiegrenze früher erreicht wird und sich somit die maximal erreichbare Verzögerung verringert.
Die Lage des Schwerpunktes kann durch die Fahrerhaltung optimiert werden: Abstützen auf dem Lenker oder gar mit dem Oberköper "voll auf den Lenker drücken und die Front komprimieren" (Zitat "Institut für Zweiradtechnik"...) sind insbesondere bei Sportmaschinen kontraproduktiv: hierdurch wird die Stoppiegrenze vorgezogen und die maximal erreichbare Verzögerung reduziert.
Insbesondere ist das Fahrzeug mit aufgestützten Armen NICHT STEUERBAR (wer's nicht glaubt, kann gerne versuchen, mit voll auf dem Lenker abgestützten Armen eine Lenkbewegung durchzuführen.)
Man hält den Körper über die Rückenmuskulatur, stützt ihn durch festen Beinschluß am Tank ab und hält die Arme leicht angewinkelt und locker.
Die Berechnungen aus Kap II gelten im umgekehrten Sinn auch für das (positive) Beschleunigen, wobei hier aus der Stoppie- die Wheeligrenze wird. Bei guten Reibbeiwerten stellt das gerade über dem Asphalt zu schweben beginnende Vorderrad den Zustand der maximal möglichen Beschleunigung dar - mehr geht nicht. Kann dieser Punkt auf Grund geringer Reibwerte oder der Fahrzeuggeometrie nicht erreicht werden, so kann allerdings nicht, wie beim Bremsen, das andere Rad unterstützen.

Die Brems-Frage